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補題４ a, b, c, d を |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a ≠ b, c ≠ d, 1 + ab ≠ 0, 1 + cd ≠ 0 なる複素数とする。 このとき a と b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線が実軸上で交わる条件は (1 + ab)(c + d) - (1 + cd)(a + b) = 0 が成り立つことである。 補題４の証明 a と b を結ぶ直線と実軸との交点は、補題３より (a + b)/(1 + ab) c と d を結ぶ直線と実軸との交点は (c + d)/(1 + cd) この二つが一致するための条件は (1 + ab)(c + d) - (1 + cd)(a + b) = 0 である。 補題５ a, b, c, d を |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a ≠ b, c ≠ d, 1 + ab ≠ 0, 1 + cd ≠ 0 , a + b ≠ 0, c + d ≠ 0 なる複素数とする。このとき a と b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線が実軸上で交わるならば 1/a と 1/b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線も同じ点で交わる。 補題５の証明 (1/a + 1/b)/(1 + 1/(ab)) = (a + b)/(1 + ab) これで補題５の証明になっているでしょう |
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補題６ a, b, c, d を |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a ≠ b, c ≠ d, 1 + ab ≠ 0, 1 + cd ≠ 0 , a + b ≠ 0, c + d ≠ 0 なる複素数とする。このとき a と b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線が実軸上で交わるならば a と 1/b を結ぶ直線と c と 1/d を結ぶ直線も実軸上で交わる。 |
補題６の証明 a と b を結ぶ直線と実軸との交点を t とし a と 1/b を結ぶ直線と実軸との交点を u とする。 補題３より u = (a + 1/b)/(1 + a/b) = (ab + 1)/(b + a) = 1/t これで補題５の証明になっているでしょう。 補題の証明の続き 一つ戻る すこし戻る 戻る |