|
補題１ a, b を |a| = |b| = 1, a ≠ b なる複素数とする。 複素数 z が複素数平面において a と b を結ぶ直線上にあるための条件は z + abz = a + b が成り立つことである。 補題１の証明 z が a と b を結ぶ直線上にあるとすると z = ta + (1-t)b をみたす実数 t が存在する。 aa = 1, bb = 1, z = t a + (1-t) b に注意すると z + abz = a + b を得る。 逆に複素数 z が z + abz = a + b を満たしたとする。このとき t = (z - b)/(a - b) とおくと z - b = a - abz より t = (1/a - z/(ab))/(1/a - 1/b) = (b - z)/(b - a) = t これは t が実数であることを意味している。 よって z は a と b を結ぶ直線上にある 補題２の証明は略 |
|
補題３ a, b を |a| = |b| = 1, a ≠ b , 1 + ab ≠ 0 なる複素数とする。 a と b を結ぶ直線上と実軸との交点は (a+b)/(1+ab) である。 補題の証明の続き 一つ戻る 二つつ戻る 戻る |
補題３の証明 t = (a + b)/(1 + ab) とおくと t = (1/a + 1/b)/(1 + 1/(ab)) = (b + a)/(ab + 1) = t である。よって t は実数であり、また t + abt = a + b がなりたつので t は a と b を結ぶ直線上にある。 |