実験しよう

使うことがら

補題１ a, b を |a| = |b| = 1, a ≠ b なる複素数とする。
複素数 z が複素数平面において
a と b を結ぶ直線上にあるための条件は
　z + abz = a + b
が成り立つことである。

補題２ a, b, c, d を |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a ≠ b, c ≠ d,
なる複素数とする。このとき
a と b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線が平行となる条件は
　　ab = cd
が成り立つことである。

補題３ a, b を |a| = |b| = 1, a ≠ b , 1 + ab ≠ 0 なる複素数とする。
a と b を結ぶ直線上と実軸との交点は
　　(a+b)/(1+ab)
である。

補題４ a, b, c, d を |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a ≠ b, c ≠ d,
1 + ab ≠ 0, 1 + cd ≠ 0 なる複素数とする。このとき
a と b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線が実軸上で交わる条件は
　　(1 + ab)(c + d) - (1 + cd)(a + b) = 0
が成り立つことである。

補題５ a, b, c, d を |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a ≠ b, c ≠ d,
1 + ab ≠ 0, 1 + cd ≠ 0 , a + b ≠ 0, c + d ≠ 0
なる複素数とする。このとき
a と b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線が実軸上で交わるならば
1/a と 1/b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線も同じ点で交わる。

補題６ a, b, c, d を |a| = |b| = |c| = |d| = 1, a ≠ b, c ≠ d,
1 + ab ≠ 0, 1 + cd ≠ 0 , a + b ≠ 0, c + d ≠ 0
なる複素数とする。このとき
a と b を結ぶ直線と c と d を結ぶ直線が実軸上で交わるならば
a と 1/b を結ぶ直線と c と 1/d を結ぶ直線も実軸上で交わる。

補題７ α = cos(π/15) + i sin (π/15) とおく
p, q, r, s を整数として
α^p ≠ α^q, α^r ≠ α^s, 1 + α^p+q ≠ 0, 1 + α^r+s ≠ 0
が成り立っているとする。
α^p と α^q を結ぶ直線と α^r と α^s を結ぶ直線が実軸上で交わるならば
30 と互いに素なすべての整数 t に対して
α^pt と α^qt を結ぶ直線と α^rt と α^st を結ぶ直線が実軸上で交わる。

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