図において 四角形 ABCD は等脚台形で、 辺 BC、CD 、DA はそれぞれ 点 P、Q, R で円に接している。 また辺 AB と円 O との交点を E、F とする。 ∠C = 60°, BC = 16, CD = 12 であるとき (1)　∠PFQ の大きさをもとめよ (2)　DQ と EF の長さを求めなさい。 (3)　�僥PQ の面積を求めよ。 DO の延長と BC の交点を G として 直線 CO と AB, DP の交点を それぞれ H, I とする。 CQ は円 O の接線なので ∠PFQ = ∠CQP である。 ∠DCO = 30°である。 AD と BC が平行なので ∠ADC = 120° よって ∠ODC = 60°となり、 また ∠DOC = 90°となる OQ ⊥ CD で CD = 12 なので DQ がもとまる。 続きは後方 　戻る

(1)　CQ = CP で ∠QCP = 60°なので 　�僂PQ は正三角形である。 　特に ∠CQP = 60°である。 CQ が �僥PQ の外接円の接線なので ∠PFQ = ∠CQP (= 60°)　である。 ∠DCB = 60°なので　∠OCD = 30° AD と BC が平行なので ∠ADC = 120° よって ∠ODC = 60°となり、 また ∠DOC = 90°となる CQ = OQ, OQ = DQ より CQ = 3DQ CD = 12 より DQ = 3　で CQ = 9 である。 また OQ = 3 である。

∠GDC = 60°で ∠DCG = 60°より �僂DG は正三角形である。 特に CG = CD = 12 よって BG = BC - GC = 4 で BP = BC - PC = 7 である。 QP, DG, AB が平行であるので OH : GB = IH : PB = CI : CP = : 2 BG = 4, BP = 7 より OH = 2 , IH = 7/2 である。

OE = OQ = 3, OH = 2 で ∠OHE = 90°なので HE = root(15) である。 EF = 2HE = 2roor(15) �僥PQ の PQ を底辺とみたとき の高さが HI であり PQ = CQ = 9 なので �僥PQ の面積は 63/4