正三角形 ABC、DEF を二つの底面とし、
高さが１の正三角柱がある。
この正三角柱を底辺に平行な平面で切った
切り口を 僣KL とする。
いま AE と HK、BF と KL 、CD と LH の
交点をそれぞれ P、Q、R とし
HD = a (0 ≤ a ≤ 1)としたとき、
(1) 儕QR の面積が
/12 のとき、a の値を求めよ。
(2) a = 1/2 のとき、立体 BPQR の体積を求めよ。
(3) PQ の長さを a で表せ。
KE = LF = HD = a である。
HR = HD = a, LQ = LF = a, KP = KE = a である。
よって HP = LR = KQ = 1-a である。
僣KL の面積 =
/4
である。それを S とおく。僣RP, 僵PQ, 儉QR は全てその面積は a(1-a)S である。
よって 儕QR の面積は (1-3a(1-a)))S である。
(1) 儕QR の面積が
/12 のとき、
それは S/3 なので(1-3a(1-a))) = 1/3
これを解いて a =1/3 または a = 2/3 である。
(2) a = 1/2 のとき 儕QR の面積は S/4 ( =
/16) で高さが 1/2 なので
立体 BPQR の体積は
/96 である。(3) PQ の長さを x とおく
僣KL と 儕QR は相似で相似比は 1 : x なので
その面積比は 1 : x2
よって x2 = (1-3a(1-a))
PQ の長さ = root(3a2-3a+1) である。
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