四角形 ABCD は円 O に内接し、 AB = AC、AB と DC は平行である。 点 A において円 O の接線 TA をひき、 辺 CD の延長との交点を E とすると、 ∠AED = 72°となった。このとき (1)　∠ACB = 72°となることを証明せよ。 (2)　AD = AE を証明せよ。 (3)　AD = DC を証明せよ。 (4)　(�僊CEの面積) : (�僊DEの面積) を求めよ。 (1) AB = AC なので ∠BAC の二等分線は 弦 BC を垂直二等分し、それは O を通る。 H を BC の中点とする。 ∠AHB = 90°である。 EA は A において円 O に接しているので ∠EAO = 90°である。 よって AE と BC は平行である。 続きは後方 　戻る

AB と EC も平行なので ABCE は平行四辺形をなす。 よって ∠ABC = ∠AEC = 72°である。 AB = AC より ∠ACB = ∠ABC ∴ ∠ACB = 72°である。 (2)　四角形 ABCD が円に内接しているので ∠ADE = ∠ABC である。

∠AED = 72°= ∠ABC = ∠ADE なので A D = AE である。 (3)　∠AED = 72°、AD = AE なので ∠EAD = 36° EA が �僊CD の外接円に接しているので ∠ACD = 36° ∠ADE = 72°であるので ∠DAC = 36°である。 ∠ACD = ∠DAC なので　AD = DC である。

(4)　CA = AB = CE である。これを a とおく。 　DC = DA = AE であ。これを b とおく。 　ED = EC - DC = a - b となる。 EA が �僊CD の外接円に接しているので EA2 = ED・EC ( b2 = (a-b)a) ∴b = (-1 + )a/2 となる。 以上より (�僊CEの面積) : (�僊DEの面積) = a : a - b 　　　　　= 2 : 3 - である。