n を 2 以上の整数とする。最初、A さんは白玉だけ n 個もち、B さんは赤玉 1 個と白玉 を n-1 個持つ。
A さんと B さんは、次の順で 1 回分の玉のやりとりを行う。ただし、 (i) と (ii) を合わせて 1 回とする。
(i)　A さんは、 B さんの持っている n 個の玉の中から無作為に 1 個取り出し、 自分の持ち玉に加える。
(ii)　次に、B さんは、 A さんの持っている n+1 個の玉の中から無作為に 1 個取り出し、 自分の持ち玉に加える。
k を 1 以上の整数とする。上のやりとりを k 回繰り返し行ったとき A さんが赤玉をもっている確率を p_k とする。
(1)　p₃ を n で表せ。　　　 (2)　p_k を n と k で表せ。

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解答

A さんが赤玉をもっていて、操作１回行ってまた A さんが赤玉を持つ確率は n/(n+1) である。
B さんが赤玉をもっていて、操作１回行って A さんが赤玉を持つ確率は (1/n)×(n/(n+1)) つまり 1/(n+1) である。
よって p₁ = 1/(n+1) である。
m を 1 以上の整数とするとき
　p_m+1 = p_m×(n/(n+1)) + (1 - p_m)×(1/(n+1))
　　　　　= ((n-1)/(n+1))×p_m + 1/(n+1)
よって
　　p_m+1 - 1/2 = ((n-1)/(n+1))×(p_m - 1/2)
∴ p_k - 1/2 = ((n-1)/(n+1))^k-1×(p₁ - 1/2) = - (1/2)×((n-1)/(n+1))^k
よって p_k = (1/2)×(1 - ((n-1)/(n+1))^k)
(1)　　p₃ = (1/2)×(1 - ((n-1)/(n+1))³) 　　　　　　(= (3n² + 1)/(n+1)³)
(2)　p_k = (1/2)×(1 - ((n-1)/(n+1))^k)

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