４ 四面体 ABCD において、辺 AB と辺 CD 垂直ならば、 頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線と、 頂点 B から平面 CDA に下ろした垂線は交わることを示せ。 解答 A から CD に下ろした垂線の足を E とする。 (E は直線 CD 上の点で AE と CD は直交している) A から BE に下ろした垂線の足を G とし B から AE に下ろした垂線の足を F とし このとき AG が頂点 A から平面 BCD に下ろした垂線であり ...�@ BF が 頂点 B から平面 CDA に下ろした垂線である ..�A ことを示す。この二つが示されれば AG と BF は �僊BE の垂心で交わっていることになる。 v(AB), v(AC), v(AD), v(AE), v(AF), v(AG) を各々 v(b), v(c), v(d), v(e), v(f), v(g) で表す。 AB と CD が垂直なので 　v(b)・(v(d) - v(c)) = 0 つまり v(b)・v(c) = v(b)・v(d) E は CD 上の点なので v(e) = rv(c)+(1-r)v(d) をみたす実数がある。 ∴ v(b)・v(e) = rv(b)・v(c)+(1-r)v(b)・v(d) = v(b)・v(c) よって v(b)・v(e) = v(b)・v(c) = v(b)・v(d)　...�B CD と AE が直交しているので 　v(e)・(v(d) - v(c)) = 0 つまり v(e)・v(c) = v(e)・v(d) ∴ v(e)・v(e) = rv(e)・v(c)+(1-r)v(e)・v(d) = v(e)・v(c) よって v(e)・v(e) = v(e)・v(c) = v(e)・v(d)　...�C 　　続く　　 　　戻る