解答 (1)　必要とあれば A,B,C の役割を変更して 　OAB が一直線上にないとしてよい。このとき 　v(OC) = αv(OA) + βv(OB) を満たす数 α,β がある。 　v(OC)・v(OA) = αv(OA)・v(OA) + βv(OB)・v(OA) 　v(OC)・v(OB) = αv(OA)・v(OB) + βv(OB)・v(OB)より 　1 = αa2 + β, 1 = α + βb2 となる。これより 　b2 - 1 = α(a2;b2 - 1), a2 - 1 = β(a2;b2 - 1) を得る。 また v(OC)・v(OC) = αv(OA)・v(OC) + βv(OB)・v(OC) より c2 = α + β を得る。これの両辺に (a2;b2 - 1) をかけて c2(a2;b2 - 1) = α(a2;b2 - 1) + β(a2;b2 - 1) をえて、変形して a2;b2c2 - c2 = b2 - 1 + a2 - 1 をえる。 これより、求める式を得る。 (2)　p = a2 - 1, q = b2 - 1, r = c2 - 1 とおく。(1) より 　(p+1)(q+1)(c+1) = (p+1) + (q+1) + (c+1) - 2 を得る。変形して 　pqr + pq + qr + rp = 0 を得る。 よって p,q,r の少なくとも一つは 0 以下である。 これより (2) が示された。 (3)　v(OC)・v(AB) = v(OC)・(v(OB)-v(OA)) = 0 より 　　OC は AB と直交している。 同様にして OB は CA と直交し、 OA は BC と直交していることがわかる。 よって O は �僊BC の垂心であることがわかる。 戻る