単位円と軸が y軸と平行な放物線とが 点 P(cos θ, sin θ) において 3 重に交わっている(接している)とする。(ただし 0 < θ < 90°) この放物線と始めの円とのもう1つの交点を Q とするとき ∠AOQ = 3∠AOP であることを示せ。ただし A(1,0) である。 解答 c = cos θ, d = sin θ　とおく。P(c,d) である。 軸が y 軸に平行で P(c,d) を通る放物線の方程式は y = a(x - c)2 + b(x - c) + d の形をしている。 この放物線が P において単位円と3 重に交わるとすると 単位円の方程式は x2 + y2 - 1 = 0 なので 4 次方程式 x2 + (a(x - c)2 + b(x - c) + d)2 - 1 = 0 が c を３重解をもつことになる。つまり g(x) = x2 + (a(x - c)2 + b(x - c) + d)2 - 1 とおくと g(x) は (x-c)3 で割り切れることになる。 実際 g(x) を (x-c)3 を割ってみると、余りは 　x2 + 2ad(x - c)2 + b2(x - c)2 + 2b(x - c)d + d2 - 1 であり x2 + d2 - 1 = x2 - c2 = (x - c)(x + c) なので、この余りは 　(x - c)( x + c + 2ad(x-c) + b2(x - c) + 2bd) となる。これが恒等的に 0 になるので 　1 + 2ad + b2 = 0 　c - 2adc - b2c + 2bd = 0 を得る。これを解いて 　　b = -c/d = - cos θ/sin θ 　　a = -(1 + b2)/(2d) = -1/(2 sin3 θ) を得る。 g(x) を (x-c)3 を割った商は a2(x-c) + 2ab であるので Q の x 座標は c - 2b/a = cos θ - 4 cos θ sin2 θ = cos 3θ である。また、Q の y 座標は a(-2b/a)2 + b(-2b/a) + d = 2b2/a + d 　 = -4 cos2θ sin θ + sin θ = - sin 3θ 従って Q(cos -3θ. sin -3θ) である。 戻る