2　四面体 OABC において、v(OA) = v(a), v(OB) = v(b), v(OC) = v(c) とするとき、 次の問いに答えなさい。 (1)　点 P が 3 点 A, B, C で定まる平面上にあるとき、実数 r, s, t を用いて 　　v(OP) = r v(a) + s v(b) + t v(c)　　(r + s + t = 1) と表されることを示しなさい。 　　　　(v(OP) は O を始点 P を終点とするベクトルを表すことにする。) (2)　辺 OA を 3 : 5 に内分する点を K, 辺 BC を 5 : 3 に内分する点を L とし、 線分 KL の中点を M とするとき イ　v(OM) を v(a), v(b), v(c) で表しなさい。 ロ　直線 OM と �僊BC の交点を P とするとき v(OP) を v(a), v(b), v(c) で表し OM : MP の比を求めなさい。 (1)　v(AP) は v(AB) と v(AC) で張られるベクトル空間に含まれるので 　　v(AP) = a v(AB) + b v(AC) となる、実数の組 a, b が存在する。 　(v(OP - v(OA)) = a(v(OB - v(OA)) + b(v(OC - v(OA)) なので 　v(OP) = (1-a-b) v(OA) + a v(OB) + b v(OC) である。ここで r = 1-a-b, s = a, t = b とおけばよい。 (2)　(イ)　 v(OM) = (v(OK) + v(OL))/2 = (3v(OA)/8 + (3v(OB) + 5v(OC))/8)/2 　　 = 3v(OA)/16 + 3v(OB)/16 + 5v(OC)/16 つまり v(OM) = (3/16)v(a) + (3/16)v(b) + (5/16)v(c) v(OP) = x v(OM) となる実数 x が存在する。 v(OP) = x v(OM) = (3x/16)v(a) + (3x/16)v(b) + (5x/16)v(c) (1) の結果より 1 = 3x/16 + 3x/16 + 5x/16 = 11x/16。故に x = 16/11 OM : MP = 1 : x - 1 = 1 : 5/11 = 11 : 5 (OM : MP = 11 : 5 は BC 上の点 L はどこにとっても成り立つ。) 戻る