(1) 「関数 f(x) = log x (対数は自然対数)の導関数を定義に従って求める」ことを 生徒に指導するとき、
あなたが指導者として、数学的に大切であると考えるポイントを 3 つ、例に従って 述べなさい。
例 「関数 y = x2 sin x を微分する」
ポイント１ 積の導関数 (uv)' = u'v + uv'
ポイント２ 三角関数の導関数 (sin x)' = cos x
ポイント３ xn の導関数 (xn)' = n xn-1
ポイント 0 導関数の定義
f'(x) は h
0 のときの (f(x+h) - f(x))/h の極限ポイント１ log の性質
log a + log b = log ab, log a - log b = log a/b, b log a = log ab
ポイント２ e の性質 h
0 のときの (1+h)1/h の極限は e
ポイント３ ex と log x の関係
log ex = x, elog x = x
(ポイント 0 も大事ですが、ここでは大前提としてよいでしょう。)
h
0 のときの (f(x+h) - f(x))/h の極限が f'(x) である。(log (x+h) - log x)/h = (log (1+ h/x))/h = log (1+h/x)1/h
= log ((1+h/x)x/h)1/x であり
h
0 のときの (1+h)1/h の極限は e であるのでh
0 のときの (log (x+h) - log x)/h の極限は log e1/x 即ち 1/x である。
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