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T． 次の各問いに答えなさい。 (1) 任意の自然数 m, n に対して m ◊ n を 次のように定めるとき 後の問いに答えなさい。答えのみでよい。 m ◊ n = m + n (n が奇数のとき) m ◊ n = m + n/2 (n が偶数のとき) @ (5 ◊ 6) ◊ 7 の値をもとめなさい。 A (x ◊ y) ◊ y = 5 を満たす自然数の組 (x,y) を すべてもとめなさい。 |
(2) H, A, B, A, T, A, N の７を 全て用いて一列に並べるとき、 次の各問いに答えなさい。答えのみでよい。 @ 並べ方は全部で何通りあるか求めなさい。 A A が隣り合わない並べ方は何通りあるか 求めなさい。 B H, B, T, N この順になる並べ方は何通りあるか 求めなさい。 |
(3) 次の問いに答えなさい。 @ 背理法とはどのような証明法であるのか 説明しなさい。 A log23 が無理数であることを 背理法で証明しなさい。 |
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T. @ (5 ◊ 6) ◊ 7 = 8 ◊ 7 = 15 A y が奇数のとき (x ◊ y) ◊ y = (x + y) ◊ y = x + 2y x + 2y = 5, x, y は自然数、y は奇数なので (x,y) = (3,1) y が遇数のとき (x ◊ y) ◊ y = (x + y/2) ◊ y = x + y x + y = 5, x, y は自然数、y は偶数数なので (x,y) = (3,2), (1,4) 答え (3,1), (3,2), (1,4) |
@ 三つの A を区別すると 7! 通りあるので 区別しないのは 7!/3! (= 840) 通り A ＊○＊○＊○＊○＊ 上の ○のところに H, B, T, N をいれ ５つの ＊のうち A を入れる３つを選べばよい。 4! × 5C3 (= 240) 通り B ＊H＊B＊T＊N＊ 上の５つの ＊ のところに A を 0-3 個 合わせて 3 つ入れる入れ方を求める。 A が 3 つまとめて入るのは 5 通り A が 2 つと 1 つと入るのは 20 通り A が１つずつ入るのは 10 通り 全部合わせて 35 通り (これは少し下手ですね) B ○○○○○○○ 7 つの○の内 H, B, T, N の入る 4 つを選ぶ。 7C4 (= 35) 通り |
@ 背理法とは 主張が間違っていると仮定して 矛盾を導き出し 主張が正しいことを示す証明法である。 A log23 が無理数でないと仮定する。 このとき、log23 は有理数である。 log23 > 0 なので log23 = n/m を満たす 自然数の組 m, n が存在する。 log23 = n/m より 2(n/m) = 3 となる。 よって 2n = 3m を得るが 2n は偶数で、3m は偶数でないので、これは矛盾。 (m,n が自然数であることに注意しておく) よって log23 は無理数である |