2004年度採用試験(兵庫県・高校)

　 T． 次の各問いに答えなさい。
(1)　任意の自然数 m, n に対して m ◊ n を次のように定めるとき
　　後の問いに答えなさい。答えのみでよい。
　　　 m ◊ n = m + n　(n が奇数のとき)
　　　 m ◊ n = m + n/2　(n が偶数のとき)
　@　(5 ◊ 6) ◊ 7 の値をもとめなさい。
　A　(x ◊ y) ◊ y = 5 を満たす
　　　自然数の組 (x,y) をすべてもとめなさい。

(2)　H, A, B, A, T, A, N の７を全て用いて一列に並べるとき、
　　次の各問いに答えなさい。答えのみでよい。
　@　並べ方は全部で何通りあるか求めなさい。
　A　A が隣り合わない並べ方は何通りあるか求めなさい。
　B　H, B, T, N この順になる並べ方は何通りあるか求めなさい。
(3)　次の問いに答えなさい。
　@　背理法とはどのような証明法であるのか説明しなさい。
　A　log23 が無理数であることを背理法で証明しなさい。 		　 問題の続き

T の解

U の解

V の解

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この問題は森脇さんの提供によるものです。
U.　次の数列について、後の問いに答えなさい。　 ただし、第 m 群に m 個の数が含まれるように区切られているものとする。
　　1 | 2, 3 | 3, 4, 5 | 4, 5, 6, 7 | 5, 6, 7, 8, 9 | ....... | m, m+1, m+2, .... | ......
(1)　各群の最後の数は奇数になることを示しなさい。
(2)　初めて 2004 が現れるのは第何群か、またそのとき、2004 は その群の何番目の数であるか求めなさい。
(3)　第 1 群から第 m 群の n 番目 (m ≥ n) までのすべての数の和を S(m,n) とする。 　このとき S(m,n) ≥ 2004 を満たす m の最小値とそのときの n の最小値を求めなさい。

V.　正五角形について、次の各問いに答えなさい。
(1)　上図のような正五角形 ABCDE がある。２つの対角線 AC と BE の交点を F とする。
　@　∠BFC の大きさを求めなさい。
　A　AB = 1 とするとき、対角線 AC の長さを求めなさい。
(2)　解答欄の線分 CD を一辺とする正五角形 ABCDE の頂点 A の位置を作図によって求めなさい。
　解答欄の線分 CD の垂直二等分線を作図したうえで、(1) を参考にして、解答欄の線分 CD を一辺とする正五角形 ABCDE の頂点 A の位置を作図により求めなさい。
　　　ただし、線分 CD より下の正五角形 ABCDE の頂点 A についての作図は不要とする。