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(1) 定積分を用いた面積の求め方を指導した後の問題演習の際に 「曲線 y = f(x), 直線 x = a, x = b, x 軸で囲まれた部分の面積が ∫abf(x)dx で求められるのはなぜですか」 解答欄の図を用い、解答欄の文に続いて説明しなさい。 ただし、関数 f(x) は a ≤ x ≤ b において連続であり、かつ f(x) ≥ 0 であるものと する。 (2) 曲線 y = sin x (0 ≤ x ≤ π/2) 直線 y = 1, y 軸で囲まれた図形 A について、 次の問いに答えなさい。 @ 図形 A の面積を求めなさい。 A 図形 A を y 軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めなさい。 (1) 解答欄が不明のため、題意が分からないので略 (2) @ ∫01 arcsin(y) dy = π/2 - ∫0π/2sin x dx = π/2 - 1 A π∫01 (arcsin(y))2 dy を計算すれば、 この値が求めるものである。 (y (arcsin(y))2)' = (arcsin(y))2 + 2y (arcsin(y))'(arcsin(y)) 2y (arcsin(y))' = 2y root(1-y2)-1 = -2(root(1-y2))' なので (-2(root(1-y2))arcsin(y))' = 2y (arcsin(y))'(arcsin(y)) - 2 {y (arcsin(y))2 + 2(root(1-y2))arcsin(y) -2y}' = arcsin(y))2 なので 求める答えは π3/4 - 2π である。 |