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X. 平面上に一辺の長さが 1 の正三角形 OAB と 2 点 P, Q があり、 等式 4v(PO) - 3v(PA) - 5v(PB) = v(0) 3|v(OP)| = |v(OQ) + v(AQ) + v(BQ)| を満たしている。このとき、次の問いに答えなさい。 (1) 点 P の位置を求めなさい。 (2) 点 Q はどのような図形を描くか答えなさい。 (3) 内積 v(OA)・v(OQ) の最大値を求めなさい。) (1) 4v(PO) - 3v(PA) - 5v(PB) = -4v(OP) - 3(v(OA) - v(OP)) - 5(v(OB) - v(OP)) = 4v(OP) - 3v(OA) - 5v(OB) より v(OP) = (3/4)v(OA) + (5/4)v(OB) (2) v(OA)・v(OA) = 1, v(OB)・v(OB) = 1, v(OA)・v(OB) = (1/2) より v(OP)・v(OP) = (3/4)2 + 2×(3/4)×(5/4)×(1/2) + (5/4)2 = 49/16 よって |v(OP)| = 7/4 v(OQ) + v(AQ) + v(BQ) = 3v(OQ) - v(OA) - v(OB) より |v(OQ) - (1/3)(v(OA) + v(OB))| = |v(OP)| = 7/4 R を v(OR) = (1/3)(v(OA) + v(OB)) なる点とおくと Q は R を中心として半径 7/4 の円周上にある。 (3) v(OS) = v(OQ) - (1/3)(v(OA) + v(OB)) とおくと v(OQ) = (1/3)(v(OA) + v(OB)) + v(OS) v(OA)・v(OQ) = 1/3 + 1/6 + v(OA)・v(OS) v(OA)・v(OS) の最大値は 7/4 なので v(OA)・v(OQ) の最大値は 9/4 である。 |