問題 放物線 y = x2 の下部にある点 P(q,q) から この放物線に引いた二本の接線の接点を各々 A, B とする。 与えられた放物線上に A, B 以外の点 C をとる。 P, C を通る直線と与えられた放物線との もう一つの交点を D とし 直線 AB と直線 CD との交点を E とするとき 1/PC + 1/PD = 2/PE であることを示せ。 P(p,q) とし A, B, C, D の x 座標を a, b, c, d とする。 A での接線の方程式は 　y = 2ax - a2 P がこの接線上にあるから 　q = 2ap - a2 a は x2 - 2px + q = 0 の解である。 b も同じ方程式の解である。よって 　a + b = 2p, ab = q　　　　�@ C, D を通る直線の方程式は 　y = (c+d)x - cd P が この直線上にあるから 　q = (c+d)p - cd　　　　　 �@ より 　ab = (c+d)p - cd　　　�A E(e,f) とおくと E は直線 CD 上にあるので 　f = (c+d)e - cd E は直線 AB 上にあるので 　f = (a+b)e - ab よって 　(a+b-c-d)e = ab - cd　　　 さらに �@ より 　(a+b-c-d)e = (c+d)p - 2cd　　　�B 1/(p-c) + 1/(p-d) - 2/(p-e) に (p-c)(p-d)(p-e) を掛けたものを計算する。 (p-d)(p-e) + (p-c)(p-e) - 2(p-c)(p-d) 　= (c+d-2e)p + ed + ce - 2cd 　= (c+d)p - e(a+b) + ed + ce - 2cd 　= (c+d)p + (c+d-a-b)e - 2cd 　= 0　　　　　　　　　　　　　(�B より) これより、求める結果を得る。 戻る　　 一つ戻る