(1) z3 + 1 = (z2 - z + 1)(z+1) = 0 より z3 = -1。
故に z6 = 1 である。
(2) A ≠ C より z3-z1 ≠ 0 である。
(z2-z1)/(z3-z1) を z とおくと
与式より z2 - z + 1 = 0 を得る。よって
z = (1+
i)/2 または z = (1-i)/2
である。ここで i は虚数単位とする。
つまり z = cos (60°) + i sin (60°) または z = cos (-60°) + i sin (-60°) である。
z は長さが 1 で偏角が 60°または -60°の複素数である。
z2-z1 = z(z3-z1) であるから
C(z3) は A(z1) を中心として B(z2)
を 60°または -60°回転したものである。
以上より 三角形 ABC は正三角形であることがわかる。
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厳密には 3 点 A(z1), B(z2), C(z3) は相異なるという条件が必要であるが、
狭い意味では 3 点といえば異なることを意味することが多いので、
書いてなくても許容範囲であろう。