(2)の解答 各円の対応する辺との接点を図のように S, T, U とおき、x = BS, y = CT, z = AU とおく このとき、次が成り立つことを示す。 (1)　(y-x+1)2 = 6y (2)　(z-y+1)2 = 6z (3)　(x-z+1)2 = 6x さらに (4)　x > 1/6 とすると z < 1/6 であり 　　　　x < 1/6 とすると z > 1/6 である。 (5)　y > 1/6 とすると x < 1/6 であり 　　　　y < 1/6 とすると x > 1/6 である。 (6)　z > 1/6 とすると y < 1/6 であり 　　　　z < 1/6 とすると y > 1/6 である。 従って (7) x = y = z = 1/6 である。 証明は、補題を使って (1),(2),(3) を示す。 (1),(2),(3) を使って (4),(5),(6) を示す。 (4),(5),(6) を利用して (7) を示す。 の手順で行われる。 戻る

証明
(1)　PB = 2x, QP = BC - CQ = 1 - 2y, PQ = PS + QT = (x + y) なので補題より
　　3(x + y)² = 4x² + (1 - 2y)² - 2x(1 - 2y) を得る。従って
　　x² + y² + 1 - 2xy - 2x - 4y = 0
　　x² + y² + 1 - 2xy - 2x + 2y = 6y
　　(y - x + 1)² = 6y　　を得る。
(2),(3) も同様に得られる。
(4) 0 < x, z < 1 なので 0 < x - z + 1 に注意しておく。
　x > 1/6 と仮定すると (3) より (1/6 - z + 1)² > (x - z + 1)² = 6x > 1 となる。これより
　　1/6 - z + 1 > 1 つまり z < 1/6 を得る。
　x < 1/6 と仮定すると (3) より (1/6 - z + 1)² < (x - z + 1)² = 6x < 1 となる。これより
　　1/6 - z + 1 < 1 つまり z > 1/6 を得る。
(5),(6) は (4) と同様に得られる。
(7) は (4),(5),(6) より直ちに得られる。