解答
(1) 僊BC の内心を I 、I から辺 BC,CA,AB に引いた垂線の足を
各々 D, E, F とする。
このとき
AF = AE, BF = BD, CD = CE である。
よって 2AF = AB + AC - BC である。また
∠FAE, ∠AFI, ∠AEI は直角で AF = AE なので
AFIE は正方形をなす。よって
AF = IF = r となる。
2 = AB + AC + BC +2r であり
2r = 2AF = AB + AC - BC なので
AB + AC = 1 である。
2r = 1 - BC なので
BC = 1 - 2r である。
答えは 1 - 2r である。
(2) b = CA, c = AB とおくと b,c は正で
(1) の証明より b + c = 1 である。
4bc = (b+c)2 - (b-c)2
(b+c)2 = 1 である。等号は b = c の時に成り立つ。
僊BC の面積は bc/2 であるので以上より
僊BC の面積の最大値は 1/8 であり、
それは AB = AC = 1/2 のとき実現する。
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