問題

問題１　　

より最大値は

である。

問題２　(1)　 a₁,a₂, a₃,a₄, a₅,a₆ を正の実数とする。このとき P(2) より
　　a₁⁶ + a₂⁶

2a₁³a₂³
　　a₃⁶ + a₄⁶

2a₃³a₄³
　　a₅⁶ + a₆⁶

2a₅³a₆³
が成り立つ。また P(3) より a₁³a₂³ + a₃³a₄³ + a₅³a₆³

3a₁a₂a₃a₄a₅a₆ が成り立つ。したがって
a₁⁶ + a₂⁶ + a₃⁶ + a₄⁶ + a₅⁶ + a₆⁶

6a₁a₂a₃a₄a₅a₆ が成り立つ。
等号が成り立つのは a₁⁶ = a₂⁶, a₃⁶ = a₄⁶, a₅⁶ = a₆⁶, a₁³a₂³ = a₃³a₄³ = a₅³a₆³ の時のみである。
a₁,a₂, a₃,a₄, a₅,a₆ は正なので、等号が成り立つのは a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = a₅ = a₆ のときのみである。よって P(6) が示せた。
(2)　a₁,a₂, a₃,a₄, a₅ を正の実数とする。いま
b₁ = a₁^5/6, b₂ = a₂^5/6, b₃ = a₃^5/6, b₄ = a₄^5/6, b₅ = a₅^5/6, b₆ = ((a₁⁵ + a₂⁵ + a₃⁵ + a₄⁵ + a₅⁵)/5)^1/6 とおくと b₁,b₂,b₃,b₄ ,b₅,b₆は正である。
ここで b₁⁶ = a₁⁵, b₂⁶ = a₂⁵, b₃⁶ = a₃⁵, b₄⁶ = a₄⁵, b₅⁶ = a₅⁵ であり b₁⁶ + b₂⁶ + b₃⁶ + b₄⁶ + b₅⁶ = 5b₆⁶ である。
P(6) より　 b₁⁶ + b₂⁶ + b₃⁶ + b₄⁶ + b₅⁶ + b₆⁶

6b₁b₂b₃b₄b₅b₆ である。これより
6b₆⁶

6b₁b₂b₃b₄b₅b₆ つまり b₆⁵

b₁b₂b₃b₄b₅ を得る。したがって、両辺を 6/5 乗し 5 倍して
a₁⁵ + a₂⁵ + a₃⁵ + a₄⁵ + a₅⁵

5a₁a₂a₃a₄a₅ を得る。
等号は b₁ = b₂ = b₃ = b₄ = b₅ = b₆ のときのみ、つまり、 a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = a₅ のときのみである。

問題３　f_n^'(x) = n(x^n-1 - 1) であり f_n(1) = 0, f_n^'(1) = 0 である。後は略

問題４　 a₁,a₂,...,a_m+1 を正の実数とする。このとき定理３より
　a_m+1^m+1 + ma₁^m+1

(m+1)a_m+1a₁^m
　a_m+1^m+1 + ma₂^m+1

(m+1)a_m+1a₂^m
　　　.
　　　.
　a_m+1^m+1 + ma_m^m+1

(m+1)a_m+1a_m^m
を得る。これより
　m(a₁^m+1 + a₂^m+1 + ... + a_m+1^m+1)

(m+1)a_m+1(a₁^m + a₂^m + ... + a_m^m) が成り立つ (等号は a₁ = a₂ = ... = a_m+1 のときのみ成り立つ)。
P(m) より a₁^m + a₂^m + ... + a_m^m

m a₁a₂...a_m である (等号は a₁ = a₂ = ... = a_m のときのみ成り立つ。)から
　a₁^m+1 + a₂^m+1 + ... + a_m+1^m+1

(m+1)a₁a₂...a_m+1　が成り立つ。
等号は a₁ = a₂ = ... = a_m+1 のときのみ成り立つ。

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