図では A,B,C は各々 α,β,γ に対応する点。

京大(00後理１) 一般に複素数 z の虚数部分を Im(z) で表すことにする。 (1)　Im((z-β)/(z-α)) > 0 とする。 1 - (z-β)/(z-α) = (β-α)/(z-α) より Im((β-α)/(z-α)) < 0. よって (β-α)/(z-α) ≠ 0 であり Im((z-α)/(β-α)) > 0 である。 逆に Im((z-α)/(β-α)) > 0 とすると、 Im((β-α)/(z-α)) < 0 となり (z-β)/(z-α) = 1 - (β-α)/(z-α) なので Im((z-β)/(z-α)) > 0 となる。 よって、求める範囲は Im((z-α)/(β-α)) > 0 となる部分である。 求める範囲は α と β を結ぶ直線を境界として α から β に向かって左側の部分である。 (境界線は含まない)。 　　(増加を押す) A,B,C は各々 α,β,γ に対応する点とする。 (1) で求めた領域を AB の左側ということにする。 (1) の議論をほとんどそのまま利用すると Im((z-β)/(z-α)) < 0 となる z は AB 右側にあり Im((z-β)/(z-α)) = 0 となる z は直線 AB 上にあることがわかる。 (2) (z-α)(z-β)+(z-β)(z-γ)+(z-γ)(z-α) = 0 .... (*) とする。 z = α と仮定すると (z-β)(z-γ) = 0 つまり z = β または z = γ となり、 α, β, γ は互いに相異なるとの仮定に反する。 よって z ≠ α である。同様に z ≠ β 及び z ≠ γ を得る。 (*) の両辺を (z-γ)(z-α) や (z-β)(z-γ) で割って (z-β)/(z-γ) + (z-β)/(z-α) + 1 = 0 .... (**1) (z-α)/(z-γ) + 1 + (z-α)/(z-β) = 0 .... (**2) を得る もし Im((z-β)/(z-γ)) = 0 と仮定すると (**1) より Im((z-β)/(z-α)) = 0 となる。このときは z は β と γ　を通る直線上にあり、z は α と β を通る直線上にある。 これは α, β, γ が同一直線上にないという仮定に反する。 よって Im((z-β)/(z-γ)) ≠ 0 である。 Im((z-β)/(z-γ)) > 0 とすると、(**1) より Im((z-β)/(z-α)) < 0 となり Im((z-α)/(z-β)) > 0 となる。 (**2) より Im((z-α)/(z-γ)) < 0 となり Im((z-γ)/(z-α)) > 0 となる。 つまり Im((z-β)/(z-γ)) > 0, Im((z-α)/(z-β)) > 0, Im((z-γ)/(z-α)) > 0 となる。 この場合は z は CB の左側、BA の左側, AC の左側にある。 (A,B,C が反時計回りのときは不可能、 A,B,C が時計回りのときは �僊BC の内部に z はある。) Im((z-β)/(z-γ)) < 0 の時は同様に m((z-α)/(z-β)) < 0, Im((z-γ)/(z-α)) < 0 となる。 この場合は z は CB の右側、BA の右側, AC の右側にある。 (A,B,C が反時計回りのときは�僊BC の内部に z はあり不可能、 A,B,C が時計回りのときは不可能である。) 以上より z は �僊BC の内部にある。 先ず C が AB の左側にあるときの証明を与える。 　戻る