京大(00後理１) １　α, β, γ は互いに相異なる複素数とする。 (1)　複素数平面上で (z-β)/(z-α) の虚数部分が正となる z の存在する範囲を図示せよ。 (2)　複素数 z が 　　　(z-α)(z-β)+(z-β)(z-γ)+(z-γ)(z-α) = 0 を満たしているとき、z は α, β, γ を頂点とする三角形の内部に 存在することを示せ。 ただし、α, β, γ は一直線上にないものとする。 ２　(1)　x ≥ 0 のとき、不等式 ex ≥ 1 + x2/2 が成立することを示せ。 (2)　自然数 n に対して関数 fn(x) = n2(x-1)e-nx の x ≥ 0 における最大値を Mn とする。このとき 　　M1 + M2 + ... + Mn + .... を求めよ。 ３　xy 平面上の点で x 座標、y 座標がともに整数である点を格子点という。 a, k は整数で a ≥ 2 として、直線　 　　L: ax + (a2+1)y = k　 を考える。 (1)　直線 L 上の格子点を１つ求めよ。 (2)　k = a(a2+1) のとき x > 0, y > 0 の領域に直線 L 上に格子点が 存在しないことを示せ。 (3)　k > a(a2+1) のとき x > 0, y > 0 の領域に直線 L 上に格子点が 存在することを示せ。 ４　直方体 ABCD-A'B'C'D'において、四角形 ABCD と四角形 A'B'C'D' は 向かいあった一組の面であり、AA', BB', CC', DD' はこの直方体の辺である。ここで AA' = 1, AB = 1, AD = root(2) とする。この直方体の内部を通る線分 AC' 上に点 P をとり、P を通り AC' に垂直な平面による直方体の切り口を考える。 (1)　P が線分 AC' の中点であるとき，切り口は点 B'、 D を通ることを示せ。 (2)　AP = x のとき、切り口の面積 S(x) を求めよ。 ５　0 異なる複素数 α に対して数列 {an} を an = αn+α-n で定める。 全ての n に対して |an| < 2 が成立しているとする。このとき (1)　|α| = 1 が成立することを示せ。 (2)　|am| > 1 となる自然数 m が存在することを示せ。 ６　関数 f(x) を f(x) = ∫0x 1/(1+t2)dt で定める。 (1)　y = f(x) の x=1 における法線の方程式を求めよ。 (2)　(1) で求めた法線と x 軸および y = f(x) のグラフによって囲まれる図形の 面積を求めよ。 　 　１の解答 　２の解答 　３の解答 　４の解答 　５の解答 　６の解答 　　 (計算間違い等がありましたら知らせて下さい)