(1)　 f(x) = e^x - (1 + x + x²/2) とおくと
f'(x) = e^x - (1+ x)
f''(x) = e^x - 1 である。
0 ≤ x のとき 0 ≤ f''(x) で f'(0) = 0 なので、 0 ≤ x のとき 0 ≤ f'(x) である。
さらに f(0) = 0 であるから 0 ≤ x のとき 0 ≤ f(x) を得る。
つまり 0 ≤ x のとき e^x ≥ 1 + x + x²/2 ≥ 1 + x²/2 である。
(2)　f'_n(x) = n²e^-nx- n³(x-1)e^-nx = n²e^-nx(1-n(x-1)) である。
x < 1+1/n のとき f'_n(x) > 0 で x > 1+1/n のとき f'_n(x) < 0 なので f_n(x) は x = 1+1/n のとき最大値をもつ。
よって M_n = f_n(1+1/n) = ne^-n-1 である。
(1+ x + x²+ x³ + ... + xⁿ)(1-x) = 1 - xⁿ⁺¹ である。これの両辺を微分して
(1+ 2x + 3x²+ 4x³ + ... + nx^n-1)(1-x) - (1+ x + x²+ x³ + ... + xⁿ) = -(n+1)xⁿ を得る。
x ≠ 1 のときには、これより 1+ 2x + 3x²+ 4x³ + ... + nx^n-1 = (1 - xⁿ⁺¹)/(1-x)² - (n+1)xⁿ/(1-x) を得る。
0 < e^-1 < 1 であるから、上の x に e^-1 を代入して
1+ 2e^-1 + 3e^-2+ 4e^-3 + ... + ne^-n+1 = (1 - e^-n-1)/(1-e^-1)² - (n+1)e^-n/(1-e^-1) を得る。
(1) より 0 < 1 + n²/2 < e² なので 0 < (n+1)e^-n < (n+1)/(1 + n²/2) である。
従って n ∞ のとき (n+1)e^-n 0 であり、もちろん e^-n-1 0 である。
従って 1+ 2e^-1 + 3e^-2+ 4e^-3 + ... + ne^-n+1 ... = 1/(1-e^-1)² を得る。
M₁ + M₂ + ... + M_n + ....
　e^-2+ 2e^-3 + 3e^-4+ 4e^-5 + ... + ne^-n-1 ...
　= e^-2/(1-e^-1)² = 1/(e-1)² を得る。
　　

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