京大(00後理４) 平方根 2 を α で表す。適当に座標をいれて A = (0,0,0),B = (1,0,0),C = (1,α,0), D = (0,α,0) A' = (0,0,1),B' = (1,0,1),C' = (1,α,1), D' = (0,α,1)　と表すことができる。 AC'2 = 1+α2+1 = 4 なので AC' = 2 である。 P は AC' 上の点なので 0 ≤ t ≤ 1 なる実数 t を使って P = (t,αt,t) と表すことができる。 よって P を通って AC' に垂直な平面は方程式 　(X-t)+α(Y-αt)+(Z-t) = 0 即ち X+αY+Z = 4t である。 (1)　P が AC' の中点のときは t = 1/2 である。つまり 4t = 2 である。 　(1,0,1) も (0,α,0) も X+αY+Z = 2 で表される平面上にあるので, 切り口は B', D を通る。 (2)　AC' = 2 なので AP = x より x = 2t である(0 ≤ x ≤ 2)。 よって題意の平面の方程式は X+αY+Z = 2x である。 case1 0 < x ≤ 1/2 のとき 　題意の平面と AB, AA', AD との交点は (2x,0,0),(0,0,2x),(0,αx,0) である。 それらを、L,M,N とおくと四面体 ALMN の体積は (2x)(2x)(αx)/6 であり S(x)x/3 でもある。 　よって切り口の面積 S(x) は 2αx2 である。 (増加を何回か押す) case 2 1/2 < x ≤ 1 のとき 題意の平面と BC, BB',A'B',A'D',AD との交点は (1,(2x-1)/α,0),(1,0,2x-1),(2x-1,0,1), (0,(2x-1)/α,1),(0,αx,0) である。 図のように、L,M,N,P,Q,R,S をとると L = (2x,0,0) で M = (0,0,2x) である。 �儉MN の面積は 2αx2 である。 �儉QP と �儉MN は相似で、相似比は LP : LN = LB : LA = 2x-1 : 2x なので �儉QP の面積は （2αx2)((2x-1)/2x)2 = α(2x-1)2)/2 である。 同様にして �儁RS の面積も α(2x-1)2)/2 である。 2αx2 - α(2x-1)2)/2 - α(2x-1)2)/2 = α(-2x2+4x-1) である。 よって、このときは S(x) = α(-2x2+4x-1) である。 case 3　1 < x ≤ 3/2 のとき 図形の対称性より x の代わりに 2-x を代入して -2(2-x)2+4(2-x)-1 = -2x2+4x-1 であるので このときも S(x) = α(-2x2+4x-1) である。 case 4 　3/2 < x < 2 のとき 図形の対称性より x の代わりに 2-x を代入して S(x) は 2α(2-x)2 である。 0 < x ≤ 1/2 のとき S(x) = 2αx2 1/2 < x ≤ 3/2 のとき S(x) = α(-2x2+4x-1) 3/2 < x < 2 のとき S(x) = 2α(2-x)2 である。 　　ここで α は 平方根 2 である。 　 　　戻る