(1)　(-ka,k) が L 上の格子点の一つである。
(2)　(m,n) が ax + (a²+1)y = a(a²+1) の格子点で m > 0, n > 0 と仮定する。
am + (a²+1)n = a(a²+1) より am = (a-n)(a²+1) である。
a と a²+1 の双方を割る素数は存在しないので a は a-n を割り切る。
また a > 0, m > 0, a²+1 > 0 なので a-n > 0 である。また n > 0 なので a-n < a である。
よって 0 < a-n < a で a-n は a の倍数となる。しかし、これは不可能である。
以上より (2) が示された。
(3)　a(a²+1) < k とする。(1) より L には格子点があるが、その一つを (d,e) とする。
つまり d, e は整数で ad + (a²+1)e = k を満たすものとする。
(e-1)/a の整数部分を s とする。つまり s は整数で s ≤ (e-1)/a < s+1 とする。
このとき as + 1 ≤ e < a(s+1) + 1 が成り立っている。
1 ≤ e - as であり, e とは整数なので 0 ≤ a(s+1) - e である。
k = ad + (a²+1)e = a(d+s(a²+1)) + (a²+1)(e-as) である。
a(d+s(a²+1)) = k - (a²+1)(e-as) > a(a²+1) - (a²+1)(e-as) = (a²+1)(a(s+1)-e) ≥ 0 となる。
a > 0 より d+s(a²+1) > 0 であり、もちろん e-as > 0 である。
(d+s(a²+1),e-as) は条件をみたす L の格子点である。
　

---

　　戻る 　

---