(1)　|α| > 1 と仮定すると n ∞ のとき |α|ⁿ ∞ で |α|^-n 0 であるので |α|ⁿ - |α|^-n ∞ となる。
|α|ⁿ - |α|^-n ≤ |αⁿ+α^-n| なので n ∞ のとき |αⁿ+α^-n| ∞ となる。 これは、全ての自然数 n に対して |αⁿ+α^-n| < 2 であることに反する。
よって |α| ≤ 1 である。
次に　|α| < 1 と仮定すると n ∞ のとき |α|^-n ∞ で |α|ⁿ 0 であるので |α|^-n - |α|ⁿ ∞ となる。
|α|^-n - |α|ⁿ ≤ |αⁿ+α^-n| なので n ∞ のとき |αⁿ+α^-n| ∞ となる。 これは、全ての自然数 n に対して |αⁿ+α^-n| < 2 であることに反する。
よって |α| ≥ 1 である。
以上より |α| = 1 がわかる。

(2)　A_k = {z | z は長さが 1 で偏角が 60(k-1)°以上 60k°未満の複素数} 　 (k = 1,2,3,4,5,6) とおく。
このとき、長さが 1 の複素数は 6 個の集合 A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ のいずれかに含まれる。
|α| = 1 なので α,α², alpha;³, α⁴, alpha;⁵, α⁶, alpha;⁷ の 7 個の複素数は皆長さが 1 である。
従って 1 ≤ s ≤ 6 なる整数 s と 1 ≤ p < q ≤ 7 なる整数の組 p, q で α^p と α^q がともに A_s 含まれるものがある。
このときは α^q-p の偏角を θ とおくと -60°< θ < 60°として よい。
m = q-p とおくと m は自然数であり、α^m は長さが 1 で偏角が θ の複素数である。
よって a_m = α^m+α^-m = 2cos θ > 1 となる。
(なぜなら、α^m = cos θ + i sin θ, α^-m = cos θ - i sin θ であり、 -60°< θ < 60°より cos θ > 1/2 であるから)。
よって (2) は示された。

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