(1) v(c) = (x,y,z) ここで x,y,z は実数とおくと
1 = |v(c)|2 = x2+y2+z2, cos α = v(a)・v(c) = x, cos β = v(b)・v(c) = x/2+y
/2 である。cos2α - cos α cos β + cos2 β = x2 - x(x/2+y
/2) +
(x/2+y/2)2
= 3x2/4+3y2/4 =
(3/4)(x2+y2) = (3/4)(1-z2) ≤ 3/4 である。(等号は z = 0 のとき成立。)
(2) X = cos (&alpha:+β), Y = cos (&alpha:-β) とおく。このとき
os2α+cos2 β = (cos2α + 1)/2+(cos2β+1)/2 = (cos2α + cos2β)/2 + 1= XY + 1
cos α cos β = (X+Y)/2 である。
よって不等式 (*) は
XY + 1 - (X+Y)/2 ≤ 3/4 となる。つまり
(X-1/2)(Y-1/2) ≤ 0 つまり (cos (&alpha:+β)-1/2)(cos (&alpha:-β)-1/2) ≤ 0 である。 これから、求める範囲は左図になる(境界を含む)。
境界の方程式は
α+β = 60°, α+β = 300°, α-β = 60°, α-β = -60°である。
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