京大(00前文１) １　円に内接する四角形 ABPC 次の条件 (イ),(ロ) を満たすとする。 (イ)　三角形 ABC は正三角形である。 (ロ)　AP と BC の交点は線分 BC を p:1-p (0 < p < 1) の比に内分する。 このとき v(AP) を v(AB), v(AC), p を用いて表せ。 (表記の都合上 v(XY) で X を始点と Y を終点とするベクトルを表す。) ２　実数 x1, x2, ..., xn (n ≥ 3) が条件 　　 　xk-1 - 2xk + xk+1 > 0 　(2 ≤ k ≤ n-1) を満たすとし、x1, x2, ..., xn の最小値を m とする。 このとき xs = m となる s (1 ≤ s ≤ n) の個数は 1 または 2 であることを示せ。 ３　v(a) = (1,0,0), v(b) = (cos 60°,sin 60°,0) とする。 (1)　長さ 1 のベクトル v(c) に対し 　　cos α = v(a)・v(c), cos β = v(b)・v(c) とおく。このとき次の不等式 (*) が成り立つことを示せ。 　　(*)　cos2α - cos α cos β + cos2 β ≤ 3/4 (2)　不等式 (*) を満たす (α,β)　 (0°≤ α ≤ 180°,0°≤ β ≤ 180°) の範囲を図示せよ。 ４　別ページに掲載 ５　a を実数とする。x の２次方程式 　　x2 - ax = 2 ∫01 |t2 - at|dt は 0 ≤ x ≤ 1 の範囲で幾つ解をもつか。 　１の解答 　２の解答 　３の解答 　　 　５の解答 　　 (計算間違い等がありましたら知らせて下さい)