京大(00前文４) (1)　p ≥ 2, q &ge 2 より p-1 > 0, q - 1 > 0 である。 b - c = p - 1 > 0 c - a = pq - p - q + 1 = (p-1)(q-1) > 0 よって a < c < b 辺の長さと角の大小は素直に対応しているので ∠A < ∠C < ∠B である。 (2)　(ハ) および (1) より ∠B = 60°である。よって余弦定理より。 c2 = a2 + b2 - ab である。 (pq+1)2 = (p+q)2 + (pq+p)2 - (p+q)(pq+p). これより (pq+1)2 - (p+q)2 = (pq+p)2 - (p+q)(pq+p). つまり (p+1)(q+1)(p-1)(q-1) = p(q+1)q(p-1) を得る。 p-1 や q+1 は 0 でないので (p+1)(q-1) = pq を得る。 p, q は 2 以上の自然数であり、 p+1 と p, q-1 と q は各々共通因子をもたないので p+1 は q で割り切れ、q-1 は p で割り切れる。 つまり p+1 ≥ q で q-1 ≥ p となり q = p+1 となる。 a = p+q = 2p+1 これは奇数。 c = pq + 1 = p(p+1)+1 これも奇数。 (ロ)より b = 2n の形をしている。 b = pq + p = p(p+2) なので p = 2s, p+2 = 2t となる整数が存在する。 2 = 2t - 2s なので t = 2, s = 1 である。 p = 2 である。また q = p+1 = 3 である。 よって a = 5,b = 8, c = 7 である。 　戻る