京大(01後文4) 一般に単位円上に異なる２点 a, b があり z が a と b を通る直線上にあるとき a, b が単位円上にあるので aa = 1, bb = 1 である。 また(z-a)/(b-a) が実数なので (z-a)(b-a) = (z-a)(b-a) が成り立つ。両辺に ab/(b-a) をかけて整頓して z + abz = a+b が成り立つ。 問題の (1) に戻ろう、図より z は α と α2 を通る直線上にあり、 1 と α4 を通る直線上にあるので z + α3z = α + α2 z + α4z = 1 + α4 が成り立つ。よって (α - 1)z = α2 + α3 - 1 - α4 が成り立つ。 α - 1 ≠ 0 なので z = 1 + α - α3 である。　(増加を押す) (2)　図のように O,A,B,C,D,E,F と点をとると ∠AOC = 144°である。 ∠ABC = ∠BAE = 72°なので ∠AFB = 36°である。 ∠AOC + ∠AFC = 144°+ 36°= 180°なので A, F, C, O は同一円周上にある。つまり 1, &alpha2, z を通る円は 0 を通る。 (2) は純粋に複素数を使ってやると煩雑になる。 　戻る