x4 - x3 + x2 - (a + 2)x - a - 3 = 0
が、虚軸上の複素数に解を持つと仮定して、そのような解の１つを ti とおく。
(i は虚数単位、 t は実数とする。)
x4 - x3 + x2 - (a + 2)x - a - 3 に
ti を代入して、実部 = 0 と虚部 = 0 より、次を得る。
t4 - t2 - a - 3 = 0
t(t2 - (a + 2)) = 0
を得る。
逆に、二つの方程式
x4 - x2 - a - 3 = 0
x(x2 - (a + 2)) = 0
が共通の実数解 t をもてば ti がもとの方程式の解になるので
x4 - x2 - a - 3 = 0
x(x2 - (a + 2)) = 0
が共通の実数解を持つ条件を求めればよい。
Case1 a+3 = 0 のとき 0 は共通の実数解である。
Case2 a+3 ≠ 0 のとき 0 は共通解でない。共通の実数解は
x2 - (a + 2) = 0 の解で 0 でない。
a+2 > 0 である。x2 = (a + 2) を x4 - x2 - a - 3 = 0
に代入して
(a + 2)2 - (a + 2) - a - 3 = 0 を得る。
つまり a2 + 2a -1 = 0 を得る。
これを満たす a のうち a+2 > 0 を満たすのは -1+root(2) である。
逆に a = -1+root(2) のときは、二つの方程式は共通の実数解をもつ。
以上より a = -3 , -1 + root(2) である。
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