京大(01前文１) １　未知数 x に関する方程式 　x4 - x3 + x2 - (a + 2)x - a - 3 = 0 が、虚軸上の複素数に解を持つような 実数 a をすべて求めよ。 ２　xy 平面内の相異なる 4 点 P1, P2, P3, P4 とベクトル v(a) に対し k ≠ m のとき v(PkPm)・v(a) ≠ 0 が成り立っているとする。 このとき、k とことなる全ての m に対して v(PkPm)・v(a) < 0 が成り立つような Pk が存在することを示せ。 (v(a) は１つのベクトル v(AB) は A を始点とし B を終点とするベクトルを表す。) ３　任意の整数 n に対して n9 - n3 は 9 で割り切れることを示せ。 ４　n を 2 以上の整数とする。実数 a1, a2, ... , an に対し 　S = a1 + a2 + ... + an とおく。k = 1,2,...,n について 不等式 -1 < S - ak < 1 が成り立っているとする。 a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an のとき、全ての k について |ak| < 2 が成り立つことを示せ。 ５　xy 平面内の -1 ≤ y ≤ 1 で定められ領域 D と、 中心が P で原点 O を通る円 C を考える。 C が D に含まれるという条件のもとで、 P が動きうる範囲を図示し、その面積を求めよ。 　 　１の解答 　２の解答 　３の解答 　４の解答 　５の解答 　 　　 (計算間違い等がありましたら知らせて下さい)