β を AB に垂直な平面の1つとして L を AB と β との交点、C, D から β に下ろした垂線 の足を L と N とする。 A,B,C,D は同一平面上にないので, L,M,N は同一直線上にない。 ∠MLN を 2θ (0 < θ < π/2) とする。 図のように β 上に T を TL が ∠ MLN の二等分線となるようにとる。 L の回りに M,T,N が反時計回りに並んでいるようにみることにする。 β 上で L を中心にして T を t だけ回転して得られる点を P とする。 M,N から直線 LP に下ろした垂線の足を各々 Q,R とする。 ただし θ - π/2 ≤ t ≤ π/2 - θ とする。 C, D から AB に下ろした垂線の足をおのおの E, F とする。 �僊BC や �僊BD が鋭角三角形なので E, F は A と B の間にある。 また AB と CD は垂直でないので E と F は異なっている。 &alpha を AB と P を通る平面とする。 E, F の取り方より C'E と AB は直交し D'F と AB も直交している。 また CE = ML, DF = NL, C'E = QL, D'F = RL である。 また C', D' は直線 AB に関して同じ側(直線上も含んで)にある A,B,C,D は定点であり C'E = QL = ML cos(θ+t) = CE cos(θ+t), D'F = RL = NL cos(θ-t) = DF cos(θ-t) であるので、 C'A,C'B,D'A,D'B の長さは t の関数として連続であり、いずれも 0 にはならない。 t の関数としての (C'A2+C'B2-AB2)/(2C'A×C'B), (D'A2+D'B2-AB2)/(2D'A×D'B) を 各々 g(t), h(t) とおいて f(t) = g(t)-h(t) とおく。 g(t) = cos ∠AC'B であり、h(t) = cos ∠AD'B である。 t = θ - π/2 のとき D'F = 0 となるので h(θ - π/2) = -1 ≤ g(θ - π/2) であり、 従って f(θ - π/2) ≥ 0 である。 t = π/2 - θ のとき C'F = 0 となるので g(π/2 - θ) = -1 ≤ h(π/2 - θ) であり、 従って f(θ - π/2) ≤ 0 である。 f(t) は t の関数として連続であるので t0 をうまく選べば f(t0) = 0 となるようになる。 t = t0 のときには cos ∠AC'B = cos ∠AD'B なので ∠AC'B = ∠AD'B である。 ABCD が同一平面にないので、A,C',D',B は同一直線上にない。 C', D' は AB に関して同じ側にあるので A,C',D',B は同一円周上にある。 A,E,F,B は皆異なる点であるので、 A,C',D',B は皆異なっている。 ddlA で増加・減少をおすと P が変化します。 ddlB で増加・減少をおすと M,N が変化します。 　戻る 　　 (計算間違い等がありましたら知らせて下さい)