(1)　an+12 - 2bn+12 = (an2 + 2bn2)2 - (2anbn)2 = (an2 - 2bn2)2 が n = 1,2,... で 成り立っている。
このことと、a12 - 2b12 = 1 より an2 - 2bn2 = 1 が 全ての n について成り立つことがわかる。

　(2)　先ず最初に、全ての自然数 n 対して
(*n) 　an ≥ 2n,　bn ≥ 2n
が成り立つことを数学的帰納法で示そう。

a1 = 3, b1 = 2 より (*1) は成り立っている。
k を自然数として、 (*k) が成り立っているとする。このとき
an+1 = an2 + 2bn2 ≥ 2bn ≥ 2k+1, bk+1 = 2akbk ≥ 2bn ≥ 2k+1 が成り立っている。つまり (*k+1) も成立する。
以上より、全ての自然数 n について (*n) が成り立つことがわかる。

1 = an2 - 2bn2 = (an-bn) (an+bn) = (an/bn - ) bn(an+bn) である。
(*n) より n ∞ のとき bn(an+bn) ∞ であるので an/bn - 0 となる。 つまり an/bn となる。
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