sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y であるので
(cos y)f(y), (sin y)f(y) 各々を y について -π/2 から -π/2 まで
定積分したものを a, b とおくと
f(x) + a sin x - b cos x = x + 1 が成り立つ。つまり
f(x) = - a sin x + b cos x + x + 1 である。
sin y cos y, y cos y, sin y は奇関数なので、これらを
y について -π/2 から -π/2 まで定積分すると 0 となる。
(sin y)2 = (1 - cos 2y)/2, (cos y)2 = (1 + cos 2y)/2,
(- y cos y + sin y)' = y sin y などに注目すると
(sin y)2, (cos y)2, y sin y, cos y を各々
y について -π/2 から -π/2 まで定積分すると各々 π/2, π/2, 2, 2 となる。
これらをもとにして、(cos y)f(y), (sin y)f(y) 各々を y について -π/2 から -π/2 まで
定積分して
a = πb/2 + 2, b = -πa/2 + 2 を得る。
これより a = (8+4π)/(4+π2), b = (8-4π)/(4+π2)
を得る。
f(x) = -((8+4π)/(4+π2))sin x + ((8-4π)/(4+π2)) cos x
+ x + 1 である。
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