1(1-2)a2 = S1 = a1 = 1 より a2 = -1 で ある。
(n+1)(n-1)an+2 = Sn+1 であり
n(n-2)an+1 = Sn であるので
(n+1)(n-1)an+2 = n(n-2)an+1 + an+1 = (n-1)2an+1 である(n ≥ 1)。
n ≥ 2 のときには (n+1)an+2 = (n-1)an+1 である。つまり
nan+1 = (n-2)an (n = 3,4,5 ... ) である。両辺に (n-1) をかけて
(n-1)nan+1 = (n-2)(n-1)an (n = 3,4,5 ... ) を得る。これより
(n-2)(n-1)an = 2a3 (n = 3,4,5 ... ) を得る。つまり
an = 2a3/((n-2)(n-1)) = 2a3(1/(n-2) - 1/(n-1)) (n = 3,4,5 ... ) を得る。
a1 = 1, a2 = -1 であるので n ≥ 3 のときには
Sn = 2a3(1 - 1/(n-1)) である。よって、 Sn
1 (n ∞ のとき) より
2a3 = 1 である。以上より次を得る。a1 = 1, a2 = -1 であり n ≥ 3 のときは an = 1/((n-2)(n-1)) である。
戻る