京大(02前理１) (1)　AB2+BC2+CA2 > 8　とする。 もし ∠A が鋭角でないと仮定する(増加を押す)。このとき cos ∠A ≤ 0 となる。余弦定理より BC2 = AB2 + CA2 - 2AB×ACcos ∠A ≥ AB2 + CA2 となる。よって AB2+BC2+CA2 ≤ 2BC2 ≤ 8 となる。 (なぜなら BC の長さは直径以下、つまり 0 < BC ≤ 2 より) これは始めの条件に反する。よって ∠A は鋭角である。(減少を押す) 同様に ∠B も ∠C も鋭角である。故に �僊BC は鋭角三角形である。 (2)　 ∠A、∠B、∠C を α, β, γ とおくと 0 < α, β, γ であり α + β + γ = 180° である。 cos(α+β) = -cos(γ) に注意しておく。 正弦定理より BC = 2 sin(α),CA = sin(β), AB = 2sin(γ) である。よって AB2+BC2+CA2 = 4(sin2(α) + sin2(β) + sin2(γ)) = 2(1 - cos(2α) + 1 - cos(2β) +1 - cos(2γ) = 6 - 2((cos(2α) + cos(2β)) + cos(2γ)) = 6 - 2(2cos(α+β)cos(α-β) + 2cos2(γ) - 1) = 8 - 4(-cos(γ)cos(α-β)+cos2(γ)) = 8 - 4((cos(γ)-cos(α-β)/2)2- cos2(α-β)/4) ≤ 8 + cos2(α-β) ≤ 8+1 = 9 が成り立つ。等号が成立するのは cos2(α-β) = 1, cos(γ)-cos(α-β)/2 = 0 の時のみである。 つまり α = β = γ = 60°のとき、即ち �僊BC が正三角形のときのみである 　戻る