京大(02前理１)
m, n, α,βを f(x) = 0 解とし m, n は整数、
α,β は虚数とする。
g(x) = (x-m)(x-n), h(x) = (x-α)(x-β) とおくと
f(x) = g(x)h(x) である。
f(x), g(x) は共に最高次の係数が 1 の整数係数の多項式で
f(x) が g(x) で割り切れるので。
h(x) = f(x)/g(x) は整数係数の多項式である。
よって αβ は整数である。また
α と β は互いに共役であるので
αβ は負ではない。
1 = f(0) = g(0)h(0) = mnαβ であるから
mn = 1 かつ αβ = 1 である。
mn = 1 より m = n = 1 または m = n = -1 である。
つまり g(x) = (x-1)2 または
g(x) = (x+1)2 である。
d = α+β とおくと αβ = 1
より h(x) = x2 - dx + 1 である。
h(x) は整数係数の多項式だったので d は整数である。
h(x) = 0 が虚数解を持つのは d = -1 または d = 0
または d = 1 のときのみである。
よって h(x) = x2 + x + 1 または,
h(x) = x2 + 1 または h(x) = x2 - x + 1 である。
いじょうより f(x) は次のいずれかである。
(x-1)2(x2+x+1),
(x-1)2(x2+1),
(x-1)2(x2-x+1),
(x+1)2(x2+x+1),
(x+1)2(x2+1),
(x+1)2(x2-x+1)。
つまり (a,b,c) は次のいずれかである。
(-1,0,-1),(-2,2,-2),(-3,4,-3),(3,4,3),(2,2,2),(1,0,1)
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