京大(02前理１) (1)　f'(x) = (1+x//(x+) = 1/ である。 (2)　曲線は媒介変数表示で 　x = θ cos(θ), ｙ = θ sin(θ) と表される。 dx/dθ = cos(θ) - θ sin(θ), dy/dθ = sin(θ) + θ cos(θ) である。 (dx/dθ)2 + (dy/dθ)2 = 1 + θ2 であるので 求める曲線の長さは を θ に関して 0 から π まで積分したものである。 それは θ の代わりに x を使うと を x に関して 0 から π まで積分したものである。 d(x )/dx = + x2/ 　= + (1+x2-1)/ 　 = 2 - 1/であるから (1) の結果とあわせると の原始関数は (x + log(x+))/2 であることがわかる。 よって求める長さは (π ) + log(π+)/2 である。 　戻る