京大(02前理１) f(x) = x3 + 3ax2 + 3bx とおく 　 y = f(x) のグラフが y = c のグラフとが異なる３点と交わるので f(x) が極大値と極小値をもち c がその極小値と極大値にある。 つまり f'(x) = 3(x2+2ax+b) なので x2+2ax+b = 0 が異なる２つの実数解をもち α,β をその実数解として α < β とするとき f(β) < c < f(α) である。 (1) x2+2ax+b = 0 が異なる２つの実数解をもつので a2 > b である。 (増加を押す。) (2)　α = -a-root(a2-b) で β = -a+root(a2-b) である。 y = f(x) と y = f(β) の交点のうち x 座標が β でないもの の x 座標は -3a-2β = -a-2root(a2-b) であり y = f(x) と y = f(α) の交点のうち x 座標が α でないもの の x 座標は -3a-2α = -a+2root(a2-b) である。 グラフより、y = f(x) と y = c の交点の x 座標は -a-2root(a2-b) より大きくて -a+2root(a2-b) より小さいことがわかる。 つまり、それは開区間 (-a-2root(a2-b),-a+2root(a2-b)) の中にある。 　戻る