入試問題

京大(02前理１)

α を長さが 1 で偏角が θ°の複素数とする。このとき
z_n - z_n-1 = α(z_n-1 - z_n-2) = α²(z_n-2 - z_n-3) = ... = α^n-1(z₁ - z₀) = α^n-1a である。
z_n - z_n-1 = α^n-1a
z_n-1 - z_n-2 = α^n-2a
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z₂ - z₁ = αa
z₁ - z₀ = a
より z₀ = 0 に注意して
z_n = a(1+α+α²+...+α^n-1) を得る。
0 < θ < 90 より α ≠ 1 である。従って
z_n = (1-αⁿ)/(1-α) を得る(n = 1,2,3,....)。
z_n = z₀ になるのは αⁿ = 1 の時のみである。
つまり nθ が 360 の倍数になるときである。
nθ が 360 の倍数とすると θ は有理数である。
逆に θ が有理数とすると
θ は正なので、自然数 p, q を選んで θ = q/p と表される。
n = 360p と定めると n は自然数で nθ が 360 の倍数のになる。
よって主張は証明された。

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