解答 O を始点とし A, B, C を各々終点とするベクトルを 各々 v(a), v(b), v(c) おくと OA⊥BC より v(a)・(v(c)-v(b)) = 0 つまり v(a)・v(b) = v(a)・v(b)　を得る。 同様にして v(b)・v(c) = v(b)・v(a) を得る。 以上より v(a)・v(b) = v(b)・v(c) = v(c)・v(a) を得る �儖AB の面積の 2 倍の２乗は OA2×OB2×(sin ∠AOB)2 即ち OA2×OB2 - OB2×(cos ∠AOB)2 である。 これは |v(a)|2×|v(b)|2 - (v(a)・v(b))2 である。 これと同様なことが他の三角形でも成り立つので 　�儖AB の面積 = �儖BC の面積 = �儖CA の面積より |v(a)|2×|v(b)|2 - (v(a)・v(b))2 = |v(b)|2×|v(c)|2 - (v(b)・v(c))2 = |v(c)|2×|v(a)|2 - (v(c)・v(a))2 を得る。 v(a)・v(b) = v(b)・v(c) = v(c)・v(a)　を考慮にいれて |v(a)|×|v(b)| = |v(b)|×|v(c)| =|v(c)|×|v(a)| が成り立つ。 |v(a)|,|v(b)|,|v(c)| は 0 ではない。よって |v(a)| = (|v(a)|×|v(b)|×|v(c)|)/(|v(b)|×|v(c)|), |v(b)| = (|v(a)|×|v(b)|×|v(c)|)/(|v(c)|×|v(a)|), |v(c)| = (|v(a)|×|v(b)|×|v(c)|)/(|v(a)|×|v(b)|) であるから |v(a)| = |v(b)| = |v(c)| つまり OA = OB = OC を得る。 また AO⊥BC, AB⊥OC, AC⊥OB であるから同様の議論で AB = AC = AO を得て BO⊥CA, BA⊥OC, BC⊥OA であるから同様の議論で BA = BC = BO を得る。 以上より OA = OB = OC = AB = BC = CA となるから OABC は正四面体をなす。 　 　　戻る