解答

f(x) = (x¹⁰⁰+1)¹⁰⁰ + (x²+1)¹⁰⁰ + 1 とおく。
ω = cos 120°＋ i sin 120°　(i は虚数単位とおくと) ω の共役複素数は ω² である。
　x²+x+1　= (x-ω)(x-ω²)　であり
ω² + ω + 1 = 0 であり ω³ = 1 である。
よって
　(ω¹⁰⁰+1)¹⁰⁰ = (ω+1)¹⁰⁰ = (-ω²)¹⁰⁰ = ω²⁰⁰ = ω²
　(ω²+1)¹⁰⁰ = (-ω)¹⁰⁰ = ω¹⁰⁰ = ω
であるので
　f(ω) = ω² + ω + 1 = 0 を得る。
ω は方程式 f(x) = 0 の解になっている。
f(x) は実数係数の多項式なので ω の共役即ち ω² も f(x) = 0 の解である。
ω と ω² は f(x) = 0 の異なる２解であるので
多項式 f(x) は (x-ω)(x-ω²) で割り切れる。
つまり f(x) は x²+x+1 で割り切れる。
　　

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