２　α > 0 とし x > 0 で定義された関数
　　f(x) = (e/x^α - 1)×(log x)/x
を考える。 y = f(x) のグラフより下側で x 軸より上側の部分の面積を α で表せ。
ただし e は自然対数の底である。

解答

x > 0 の範囲で (log x)/x ≥ 0 なる範囲は x ≥ 1 である。
x > 0 の範囲で e/x^α - 1 ≥ 0 なる範囲を求める。
　　e/x^α - 1 ≥ ⇔ e ≥ x^α ⇔ 1 ≥ αlog x ⇔ 1/α ≥ log x ⇔ e^(1/α) ≥ x 　　　　　(α > 0 に注意した)
β = e(1/α) とおくと 1 < β であるので
x > 0 の範囲で 0 ≤ f(x) となるのは 1 ≤ x ≤ β である。
求めるものは f(x) を 1 から β まで定積分したものである。
f(x) = (e/x^α - 1)×(log x)/x = e log x/x^α+1 - (log x)/x である。
(log x/x^α)' = 1/x^α+1 - α(log x/x^α+1) = - (1/α)(1/x^α)' - α(log x/x^α+1)
log β = 1/α, β^α = e に注意して、上の式より
　　α(log x/x^α+1) を 1 から β まで定積分したもの = (-1/(e α)) + (1/α) - (1/(e α)
をえる。つまり
　　e log x/x^α+1 を 1 から β まで定積分したもの = - 2/α² + e/α²
を得る。また
　((log x)²/2)' = (log x)/x
なので
　　(log x)/x を 1 から β まで定積分したもの = 1/(2 α²) をえる。
以上より求める答えは
　　- 5/(2α²) + e/α²
である。

---

　戻る