３　n を 2 以上の自然数とする。
x2n を x2 - x + (n-1)/n2 で割ったあまりを anx + bn とする。
即ち x の多項式 Pn(x) があって
　　x2n = (x2 - x + (n-1)/n2)Pn(x) + anx + bn
が成り立っているとする。
n ∞ のときの an と bn の極限値を 求めよ。(表現を少し変えてあります)

解答

n を 3 以上の自然数とする。(n ∞ のときの状況を調べるので 、こうして良い)
fn(x) = x2 - x + (n-1)/n2 = (x - (1 - 1/n))(x - 1/n) である。従って。
　　(1 - 1/n)2n = an(1 - 1/n) + bn
　　(1/n)2n = an(1/n) + bn
をえる。これより
　　an = ((1 - 1/n)2n - (1/n)2n)/(1 - 2/n)
を得る。
(1 - 1/n)2n = ((1 - 1/n)n)2、 n ∞ のとき (1 - 1/n)n 1/e 、(1/n)2n) 0, 1 - 2/n 1 等に注意して
n ∞ のとき an 1/e2 を得る。
さらにこれと (1/n)2n = an(1/n) + bn より
n ∞ のとき bn 0 を得る。

答え　n ∞ のとき an 1/e2 で bn 0 である。
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