５　　複素数 α に対して その共役複素数を α で表す。 α を実数でない複素数とする。 複素平面内の円 C が 1, -1, α を通るならば C は -1/α も通ることを示せ。 別解 C の中心は -1 と 1 の垂直二等分線上にあるので 純虚数である。つまり実数 p を用いて pi の形で表される。 C の半径を r とおくとき C の方程式は 　(z-pi)(z-pi) = r2 つまり 　zz + (z - z )pi = r2 - p2 で与えられる。C が 1 を通るので z = 1 を代入して 1 = r2 - p2 を得る。つまり C の方程式は 　zz + (z - z )pi = 1 である。 C が α を通っているので 　αα + (α - α)pi = 1 である。 αα ≠ 0 なので両辺を これで割って 1 + ( 1/α - 1/α)pi = 1/(αα) を得る。 β = -1/α とおくと 1 + (-β + β)pi = ββ を得る。変形して ββ + (β - β)pi = 1 を得る。これは C は β 即ち -1/α を通ることを意味している。 　戻る