６
N を自然数とする N+1 個の箱があり 1 から N+1 までの番号が付いている。どの箱
にも玉が１個入っている。１から N までの箱に入っている玉は白玉で番号 N+1
の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作 (*) を各々の
k = 1, 2, ..., N にたいしして k が小さい
ほうから順番に１回ずつ行う。
(*) k 以外の番号の N 個の箱から１個箱をその選び、その箱の中身と番号の k 箱の中身を交換する
（ただし、個の箱から１個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする）
操作がすべて終了したのちに、赤玉が番号 N+1
の箱に入っている確率を求めよ。
解答
主張１
1 ≤ n ≤ N なるすべての自然数にたいして
k = 1, 2, ..., n と操作 (*) を行ったあとには番号 n+1 から番号 N までの箱には
白玉が入っている。
この主張は次のように数学的帰納法で示される。
n = 1 のとき k = 1 の操作(*)では
直前には１番目の箱から N 番目の箱には白玉しか入っていないので
どの箱を選んでも
操作の結果 2 番目から N 番目までの箱には白玉しか入っていない。
2 ≤ n ≤ N として k = 1, 2, ..., n-1 まで操作(*)行った結果 n 番目から
N 番目の箱には白玉しか入っていないと仮定しよう。このとき
k = n のとき操作(*) を行えばどの箱を選んでも
操作の結果番号 n+1 から番号 N までの箱には
やはり白玉が入っていることになる。
以上で主張１は示された。
1 ≤ n ≤ N+1 なるすべての自然数にたいして
k = 1, 2, ..., n と操作(*) を行った結果番号 N+1 の箱に赤玉が入っている確率を
pn と表すことにする。このとき次が成り立つ。
主張２
次が成り立つ
(1) p1 = (N-1)/N
(2) 2 ≤ n ≤ N のとき pn = pn-1×(N-1)/N
(3) pN+1 = (1 - pN)/N
主張２の証明 (1) k = 1 のとき操作(*) の結果 N+1 番目の箱に赤玉が残るためには
選ぶ箱は N+1 番目以外の N-1 個から選ばなくていけない。
そう選ぶ確率は (N-1)/N である。
(2) 2 ≤ n ≤ N のとき k = 1, 2, .... , n-1 まで操作(*) を行った結果
主張１により n 番目の箱には白玉が入っているので
k = n での操作(*) を行った結果 N+1 番目の箱に赤玉が残るためには、
直前まで N+1 番目の箱に赤玉が残っていて、この操作で選ぶ箱は N+1 番目以外の
N-1 個から選ばなくてはいけない。
よって pn = pn-1×(N-1)/N である。
k = 1, 2, ... , N と操作(*) を行ったあと最後に k = N+1 と操作(*)
を行う。その結果 N+1 番目の箱に赤玉がのこるためには最後の操作の前には
N+1 番目の箱には赤玉が入っていなくて、最後の操作で選ぶのは N 個の箱のうち
赤玉の入っている１個を選ばなくてはいけない。従って
pN+1 = (1 - pN)×(1/N) である。
主張２の(1),(2) より pN) = ((N-1)/N)N であり
更に、主張２の(3) より pN+1 = (1-((N-1)/N)N )/N である。
求める答えは (1-((N-1)/N)N )/N である。
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