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解答 O を始点とし A, B, C, G, P, A', B', C' を各々終点とするベクトルを 各々 v(a), v(b), v(c), v(g), v(p), v(a'), v(b'), v(c') とおく。 v(g) = (1/3)(v(a) + v(b) + v(c)) v(p) = (t/3)(v(a) + v(b) + v(c)) A' は三角形 OBC 上にあるので 実数 x, y をうまく選んで v(a') = x v(b) + y v(c) と表される。 また A' は PA を結ぶ直線上にあるから 実数 z をうまく選んで v(a') = z v(a) + (1-z) v(p) と表される。 x v(b) + y v(c) = (z + (1-z)t/3) v(a) + ((1-z)t/3) v(b) + ((1-z)t/3) v(c) で v(a), v(b), v(c) は一次独立なので z + (1-z)t/3 = 0, x = (1-z)t/3, y = (1-z)t/3 となる。 (0 < t < 1 より 3 -t > 0 に注意しておく) よって z = - t/(3-t) で x = y = - z = t/(3-t) v(a') = (t/(3-t)) (v(b) + v(c)) を得る。 同様に、 v(b') = (t/(3-t)) (v(c) + v(a)) v(c') = (t/(3-t)) (v(a) + v(b)) を得る。 |
v(b') - v(a') = (t/(3-t)) (v(a) - v(b)) v(c') - v(b') = (t/(3-t)) (v(b) - v(c)) v(a') - v(c') = (t/(3-t)) (v(c) - v(a)) 従って A'B' = (t/(3-t))AB, B'C' = (t/(3-t))BC, C'A' = (t/(3-t))CA であるから、 三角形 A'B'C' は三角形 ABC と相似でその相似比は t : 3 - t である。 |