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解答 整数の組 (a,b) が a3 - b3 = 217 を満たすとする。 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) である。 a2 + ab + b2 = (a + b/2)2 + b2/4 > 0 なので a - b > 0 である。 217 を素因数分解すると 217 = 7 × 31 なので この段階では (a - b , a2 + ab + b2) の 可能性は (1,217), (7,31), (31,7), (217,1) ある。 4(a2 + ab + b2) - (a - b)2 = 3(a + b)2 注意しておく。 「a - b = 3 で a2 + ab + b2 = 3 × 23」 であるかまたは 「a - b = 3 × 23 で a2 + ab + b2 = 3」 となる |
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(a - b , a2 + ab + b2) = (1,217) のとき 3(a + b)2 = 4×217 - 1 = 867 = 3×289 = 3 × 172 よって a + b = 17 または a + b = -17 ∴ (a,b) = (9,8) または (a,b) = (-8,-9) (a - b , a2 + ab + b2) = (7,31) のとき 3(a + b)2 = 4×31 - 49 = 75 = 3×52 よって a + b = 5 または a + b = -5 ∴ (a,b) = (6,-1) または (a,b) = (1,-6) (a - b , a2 + ab + b2) = (31,7) のとき 3(a + b)2 = 4×7 - 312 < 0 <> これは解なし。 (a - b , a2 + ab + b2) = (217,1) のとき 3(a + b)2 = 4×1 - 2172 < 0 <> これも解なし。 |
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以上より (a,b) の可能性は (9,8), (-8,-9), (6,-1), (1,-6) であるが、これらは実際条件式を満たしている。 |